The Jordan Normal Form

我们讨论复数域 \(\mathbb{C}\) (或者任意代数闭域) 上的 \(n\) 阶方阵 \(A\) 的 对角化问题，这等价于研究线性变换 \(\mathscr{A}\colon x\mapsto Ax\) 在何 組基下有最简单的矩阵表示。代数闭的条件是为了保证我们所考虑的多项式总可 以分解为一次因式乘积。比如可以将矩阵 \(A\) 的特征多项式 \(p_\textrm{char}(x)= \operatorname{det} \,(xI-A)\) 因式分解为 \(p_\textrm{char}(x) = \prod_{j=1}^s (x-\lambda_j)^{n_j}\)，这里 \(\{\lambda_j,\; j=1, 2, \ldots, s\}\) 是 \(A\) 的特征多项式组成的集合，称 为谱，\(n_j\) 是特征值 \(\lambda_j\) 的代数重数，满足 \(\sum_{j=1}^s n_j = n\)。除了特征多项式，零化多项式也是刻画矩阵性质的有利工具。

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