斗地主中的概率

问. 现有 \(N\) 个小球, 其中有 \(M\) 个作了标记. 今随机地挑出 \(K\) 个, 写出其中标记球的个数的分布.

答. 为了问题有意义，我们不妨要求 \(N, M, K \geq 1\)，且 \(N\geq M\) 和 \(N\geq K\).

记挑出标记球的个数为 \(X\), 那么必然有 \(X \leq K\) 和 \(X \leq M\)，以及\(X \geq 0\). 另外，如果绝大多数球都被标记，那么只要挑出的球不至于太少 \(K > N-M\)，那么一定有被标记的球. 换而言之，\(X\) 的最小取值未必是零，也可能是 \(K - (N - M)\). 如此不难看出 \(X\) 的可能取值为 \(\max(0, K-N+M)\) 到 \(\min(K, M)\) 中间的任何值.

\[ \mathbb{P}(X=i) = \frac{ \binom{M}{i}\binom{N-M}{K-i}}{\binom{N}{K}},\qquad \max(0,K+M-N)\leq i\leq \min(K,M). \]

注. 设 \(N, M, K\) 是大于 1 的正整数, 且有 \(N\geq M\) 和 \(N\geq K\), 那么有恒等式 \[ \sum_{i=\max(0,K+M-N)}^{\min(K,M)}\binom{M}{i}\binom{N-M}{K-i} = \binom{N}{K}.\]

例 1. 取 \(N=54,M=6,K=20\), 则 \(X\) 分布如下

\(X\)	0	1	2	3	4	5	6
\(p\)	0.052	0.22	0.34	0.26	0.11	0.02	0.0015

例 2. 取 \(N=54,M=6,K=17\), 则 \(X\) 分布如下

\(X\)	0	1	2	3	4	5	6
\(p\)	0.09	0.29	0.35	0.2	0.061	0.0089	0.00048

例 3. 取 \(N=54,M=6,K=3\), 则 \(X\) 分布如下

\(X\)	0	1	2	3
\(p\)	0.7	0.27	0.029	0.00081

计算上述概率的代码 在这 。

问. 现有事件族 \(\{A_i\}_{i=1}^n\), 写出至少有一个事件发生的概率.

答. 记 \(S_1=\sum_i\mathbb{P}(A_i)\) 为一个事件发生的概率之和；记 \(S_2=\sum_{i < j}\mathbb{P}(A_i\cap A_j)\) 为两个不同事件发生的概率之和； 记 \[S_k=\sum_{i_1 < i_2 < \cdots < i_k}\mathbb{P}(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_k})\] 为 \(k\) 个不同事件发生概率之和；则 有 \[\mathbb{P}\biggl(\bigcup_{i=1}^nA_i\biggr)=S_1 - S_2 + S_3 - \cdots + (-1)^{n+1}S_n.\]

证. 对 \(n\) 作数学归纳法。显然 \(n=2\) 时命题成立。假设命题对 \(n\) 成立， 下面证命题对 \(n+1\) 成立。

为清晰起见，用 \(S_k(\mathcal{E})\) 记事件族 \(\mathcal{E}=\{E_i\}\) 中 \(k\) 个不同事件发生概率之和。令 \(\mathcal{A}_n = \{A_i\}_{i=1}^n\) 及 \(\mathcal{A}_{n+1}=\{A_i\}_{i=1}^{n+1}\). 那么已知 \[ \mathbb{P}\biggl(\bigcup_{i=1}^nA_i\biggr)=S_1(\mathcal{A}_n) - S_2(\mathcal{A}_n) + S_3(\mathcal{A}_n) - \cdots + (-1)^{n+1}S_n(\mathcal{A}_n). \] 欲证 \[ \mathbb{P}\biggl(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i\biggr)=S_1(\mathcal{A}_{n+1}) - S_2(\mathcal{A}_{n+1}) + S_3(\mathcal{A}_{n+1}) - \cdots + (-1)^{n+1}S_n(\mathcal{A}_{n+1}). \]

不难看出 \[ \mathbb{P}\biggl(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i\biggr) = \mathbb{P}(A_{n+1}) + \mathbb{P}\biggl(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\biggr) - \mathbb{P}\biggl(\bigcup_{i=1}^{n} (A_i\cap A_{n+1})\biggr). \]

令 \(\mathcal{B} = \{A_i\cap A_{n+1}\}_{i=1}^n\). 那么

$$ \begin{aligned} \mathbb{P}\biggl(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i\biggr) =& \mathbb{P}(A_{n+1}) + S_1(\mathcal{A}_n) \\ & - S_1(\mathcal{B}) - S_2(\mathcal{A}_n) \\ & + S_2(\mathcal{B}) + S_3(\mathcal{A}_n) \\ & - S_3(\mathcal{B}) - S_4(\mathcal{A}_n) \\ & \cdots \\ & +(-1)^{n+1}S_{n-1}(\mathcal{B}) + (-1)^{n+1}S_n(\mathcal{A}_n) \\ & +(-1)^{n+2}S_{n}(\mathcal{B}). \end{aligned} $$

注意到 \(S_k(\mathcal{B}) + S_{k+1}(\mathcal{A}_n) = S_{k+1}(\mathcal{A}_{n+1})\) 即完成证明。

以下考虑经典规则: 54 张牌, 地主分到 20 张, 两个农民各 17 张.

1. 摸到王牌的概率

   个数	0	1	2
   地主	0.39	0.48	0.13
   农民	0.47	0.44	0.095

2. 摸到 2 的概率

   个数	0	1	2	3	4
   地主	0.15	0.38	0.34	0.12	0.015
   农民	0.21	0.42	0.29	0.08	0.0075

3. 摸到王牌或者 2 的概率

   个数	0	1	2	3	4	5	6
   地主	0.052	0.22	0.34	0.26	0.11	0.02	0.0015
   农民	0.09	0.29	0.35	0.2	0.061	0.0089	0.00048

问. 写出经典规则下地主摸到至少一炸 (王炸或者四炸) 的概率. 农民呢?

答. 记 \(A_0\) 为事件 "地主摸到王炸", \(A_i\) 为事件 "地主摸到炸 \(i\)" (\(i=1,2,\ldots,13\)). 记 \(a_m\) 为从一组有 \(m\) 个标记球共 54 个球的球堆中取出 20 个球时恰好有 \(m\) 个标记球的概率. 那么 \[\mathbb{P}(A_0)=a_2,\qquad \mathbb{P}(A_i) = a_4,\quad i=1,2,\ldots,13.\] 进一步地, 有

$$ \begin{aligned} S_1 &= \sum_{i=0}^{13}\mathbb{P}(A_i) = a_2 + 13 a_4,\\ S_2 &= \sum_{0\leq i < j \leq 13}\mathbb{P}(A_i\cap A_j) = \biggl( \sum_{\substack{1\leq j \leq 13\\i=0}} + \sum_{1\leq i < j \leq 13} \biggr)\mathbb{P}(A_i\cap A_j)= 13 a_6 + \binom{13}{2}a_8,\\ S_3 &= \sum_{0\leq i < j < k \leq 13}\mathbb{P}(A_i\cap A_j\cap A_k) = \biggl( \sum_{\substack{1\leq j < k \leq 13\\i=0}} + \sum_{1\leq i < j < k \leq 13} \biggr)\mathbb{P}(\cdots)= \binom{13}{2}a_{10} + \binom{13}{3}a_{12},\\ S_4 &= \sum_{0\leq i < j < k < \ell \leq 13}\mathbb{P}(\cdots) = \biggl( \sum_{\substack{1\leq j < k < \ell \leq 13\\i=0}} + \sum_{1\leq i < j < k < \ell \leq 13} \biggr)\mathbb{P}(\cdots)= \binom{13}{3}a_{14} + \binom{13}{4}a_{16},\\ \cdots & \cdots,\\ S_k &= \binom{13}{k-1}a_{4k-2} + \binom{13}{k}a_{4k}. \end{aligned} $$

显然, 当 \(k \geq 6\) 时, \(S_k=0\). 故 \[\mathbb{P}\biggl(\bigcup_{i=0}^{13}A_i\biggr) = S_1 - S_2 + S_3 - S_4 + S_5 \approx 30.4\%.\] 对于农民, 这个数字变为 \[\mathbb{P}\biggl(\bigcup_{i=0}^{13}A'_i\biggr) = S'_1 - S'_2 + S'_3 - S'_4\approx 18.5\%.\]

模拟验证的代码 在这 。